Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA

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Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA
Redacción SicaNews [ newsletter@sicaelec.com ]


Fórmulas para la resolución de circuitos en CC y CA

Resumen:

En este artículo se publican y explican un variado compendio de fórmulas de cálculo, para la resolución de distintos circuitos de corriente continua y corriente alterna.

Desarrollo:

En algunas de las fórmulas siguientes se emplea la fuente “symbol” para su notación. Si los símbolos de las letras 'alfa beta delta' no aparecen así: [a b d], entonces deberá instalarse la fuente citada para una lectura adecuada.

1 - Fórmulas básicas de los circuitos eléctricos

- Notación

C
E
e
G
I
i
k
L
M
N
P

 

capacidad
tensión
valor instantán. E
conductancia
corriente
valor instantán. I
coeficiente
inductancia

inductancia mutua
número de vueltas
potencia

 

[Farad, F]
[Volt, V]
[Volt, V]
[Siemens, S]
[Ampere, A]
[Ampere, A]
[adimens.]
[Henry, H]
[Henry, H]
[adimens.]
[Watt, W]

 

Q
q
R
T
t
V
v
W
F
Y
y

 

carga
valor instantán. Q
resistencia
constante de tiempo tiempo
caída de tensión
valor instantán. V
energía
flujo magnético
flujo concatenado valor instantán.
Y

 

[Coulomb, C]
[Coulomb, C]
[Ohm,
W]
[segundo, seg]
[segundo, seg]
[Volt, V]
[Volt, V]
[Joule, J]
[Weber, Wb]
[Weber, Wb]
[Weber, Wb]

- Resistencia

La resistencia R de un circuito es igual a la tensión continua aplicada E dividida por la corriente continua resultante I:

R = E / I

- Resistencias en serie

Cuando las resistencias R1, R2, R3, ... se conectan en serie, la resistencia total RS vale:


RS = R1 + R2 + R3 + ...

- División de tensión por resistencias en serie

Cuando la tensión total ES se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en serie R1 y R2, la corriente IS que circula a través del circuito serie vale:

IS = ES / RS = ES / (R1 + R2)

Las caidas de tensión V1 y V2 que aparecen a través de las resistencias respectivas R1 y R2 valen:

V1 = ISR1 = ESR1 / RS = ESR1 / (R1 + R2)
V2 = ISR2 = ESR2 / RS = ESR2 / (R1 + R2)

En general, para las resistencias R1, R2, R3, ... conectadas en serie:

IS = ES / RS = ES / (R1 + R2 + R3 + ...)

Vn = ISRn = ESRn / RS = ESRn / (R1 + R2 + R3 + ...)

Nótese que la mayor caída de tensión aparece a través de la resistencia mayor.

- Resistencias en paralelo

Cuando las resistencias R1, R2, R3, ... se conectan en paralelo, la resistencia total RP vale:

1 / RP = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 + ...

Alternativamente, cuando las conductancias G1, G2, G3, ... se conectan en paralelo, la conductancia total GP vale:


GP = G1 + G2 + G3 + ...

donde: Gn = 1 / Rn

Para dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo, la resistencia total RP vale:

RP = R1R2 / (R1 + R2)

La resistencia R2 que debe conectarse con la resistencia R1 para dar una resistencia total RP vale:

R2 = R1RP / (R1 - RP)

- División de corriente por resistencias en paralelo

Cuando la corriente total IP se aplica al conjunto de dos resistencias conectadas en paralelo R1 y R2, la caída de tensión VP que aparece a través del circuito paralelo vale:


VP = IPRP = IPR1R2 / (R1 + R2)

Las corrientes I1 e I2 que circulan a través de las resistencias respectivas R1 y R2 valen:

I1 = VP / R1 = IPRP / R1 = IPR2 / (R1 + R2)
I2 = VP / R2 = IPRP / R2 = IPR1 / (R1 + R2)

En general, para las resistencias R1, R2, R3, ... (con conductancias G1, G2, G3, ...) conectadas en paralelo:

VP = IPRP = IP / GP = IP / (G1 + G2 + G3 + ...)
In = VP / Rn = VPGn = IPGn / GP = IPGn / (G1 + G2 + G3 + ...)

donde: Gn = 1 / Rn

Nótese que la mayor corriente aparece a través de la conductancia mayor (con la resistencia menor).

- Capacidad

Cuando una tensión V se aplica a un circuito que contiene una capacidad C, la circulación de corriente acumula una carga Q en el capacitor:

Q = ò i dt  = CV

Alternativamente, diferenciando con respecto al tiempo:

dq/dt = i = C dv/dt

La capacidad C de un circuito es igual a la carga dividida por la tensión:

C= Q / V = ò i dt  / V

Alternativamente, la capacidad C de un circuito es igual a la corriente de carga dividida por la velocidad de variación de la tensión:

C= i / dv/dt = dq/dt / dv/dt = dq/dv

- Capacidades en serie

Cuando las capacidades C1, C2, C3, ... se conectan en serie, la capacidad total CS vale:

1 / CS = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...

Para dos capacidades C1, y C2 que se conectan en serie, la capacidad total CS vale:

CS = C1C2 / (C1 + C2)

- División de tensión por capacidades en serie

Cuando la tensión total ES se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en serie C1 y C2, la carga QS que se acumula en el circuito serie vale:

QS = ò iS dt = ESCS = ESC1C2 / (C1 + C2)

Las caidas de tensión V1 y V2 que aparecen a través de las capacidades respectivas C1 y C2 valen:

V1 = ò iS dt  / C1 = ESCS / C1 = ESC2 / (C1 + C2)

V2 = ò iS dt  / C2 = ESCS / C2 = ESC1 / (C1 + C2)

En general, para las capacidades C1, C2, C3, ... conectadas en serie:


QS =
ò iS dt = ESCS = ES / (1 / CS) = ES / (1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...)
Vn =
ò iS dt / Cn = ESCS / Cn = ES / Cn(1 / CS) = ES / Cn(1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3 + ...)

Nótese que la mayor caída de tensión aparece a través de la capacidad menor.

- Capacidades en paralelo

Cuando las capacidades C1, C2, C3, ... se conectan en paralelo, la capacidad total CP vale:

CP = C1 + C2 + C3 + ...

- División de carga por capacidades en paralelo

Cuando la tensión EP se aplica al conjunto de dos capacidades conectadas en paralelo C1 y C2, la carga QP que se acumula en el circuito paralelo vale:

QP = ò iPdt = EPCP = EP(C1 + C2)

La cargas Q1 y Q2  que se acumulan en las capacidades respectivas C1 y C2 valen:

Q1 = ò i1dt = EPC1 = QPC1 / CP = QPC1 / (C1 + C2)
Q2 =
ò i2dt = EPC2 = QPC2 / CP = QPC2 / (C1 + C2)

En general, para las capacidades C1, C2, C3, ... conectadas en paralelo:

QP = ò iPdt = EPCP = EP(C1 + C2 + C3 + ...)
Qn =
ò indt = EPCn = QPCn / CP = QPCn / (C1 + C2 + C3 + ...)

Nótese que la mayor carga se acumula en la capacidad mayor.

- Inductancia (ó autoinductancia)

Cuando la corriente cambia en un circuito que contiene una inductancia, el flujo concatenado cambia e induce una tensión e en la inductancia:

dy/dt = e = L di/dt

Alternativamente, integrando con respecto al tiempo:

Y = ò edt = LI

La inductancia L de un circuito es igual a la tensión inducida de carga dividida por la velocidad de variación de la corriente:

L = e / di/dt = dy/dt / di/dt = dy/di

Alternativamente, la inductancia L de un circuito es igual al flujo concatenado dividido por la corriente:

L = Y / I

El flujo concatenado Y es igual al producto del número de vueltas N por el flujo magnético F:

Y = NF = LI

- Inductancia mutua

La inductancia mutua M de dos circuitos acoplados con autoinductancias L1 y L2 es igual a la tensión mutuamente inducida en una autoinductancia dividida por la velocidad de variación de la corriente en la otra autoinductancia:

M = E2m / (di1/dt)
M = E1m / (di2/dt)

Si las tensiones inducidas en las autoinductancias L1 y L2 son respectivamente E1a y E2a para las mismas velocidades de variación de la corriente que producen las tensiones mutuamente inducidas E1m y E2m, entonces:


M = (E2m / E1a)L1
M = (E1m / E2a)L2

Entonces:

M = (E1mE2m / E1aE2a)½ (L1L2)½ = kM(L1L2)½

Donde kM es el coeficiente de acoplamiento mutuo entre las autoinductancias L1 y L2.

Si el acoplamiento mutuo entre las dos autoinductancias L1 y L2 es perfecto, entonces la inductancia mutua vale:

M = (L1L2)½

- Inductancias en serie

Cuando las inductancias no acopladas L1, L2, L3, ... se conectan en serie, la inductancia total LS vale:

LS = L1 + L2 + L3 + ...

Cuando dos circuitos acoplados con inductancias L1 y L2 e inductancia mutua M se conectan en serie, la inductancia total LS vale:

LS = L1 + L2 ± 2M

El signo mas/menos es función del acoplamiento aditivo o sustractivo, lo que depende de polaridad de conexión.

- Inductancias en paralelo

Cuando las inductancias no acopladas L1, L2, L3, ... se conectan en paralelo, la inductancia total LP vale:

1 / LP = 1 / L1 + 1 / L2 + 1 / L3 + ...

- Potencia

La potencia P disipada en una resistencia R (ó conductancia G) atravesada por una corriente I que produce una caída de tensión V vale:

P = VI = V2 / R = I2R

P = VI = V2G = I2 / G

- Energía

La energía W consumida en un tiempo t, para entregar una potencia constante P disipada en una resistencia R (ó conductancia G) atravesada por una corriente I con una caída de tensión V vale:

W = Pt = VIt = V2t / R = I2tR

W = Pt = VIt = V2tG = I2t / G

La energía W almacenada en el campo de una capacidad C para alcanzar una tensión V con una carga Q vale:

W = CV2 / 2 = QV / 2 = Q2 / 2C

La energía W almacenada en el campo de una inductancia L para llevar una corriente de carga I con un flujo concatenado Y vale:

W = LI2 / 2 = YI / 2 = Y2 / 2L

- Circuito RC

La constante de tiempo T de un circuito formado por una capacidad C y una resistencia R vale:

T = CR

Si una tensión E se aplica a un circuito serie formado por una capacidad descargada C y una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia vR, la caída de tensión a través de la capacidad vC, y la carga acumulada en la capacidad qC valen:

i = (E / R) e - t / CR  = (E / R) e - t / T
vR = iR = E e - t / CR  = E e - t / T
vC = E - vR = E (1 - e - t / CR) = E (1 - e - t / T)
qC = CvC = CE (1 - e - t / CR) = CE (1 - e - t / T)

Si una capacidad C cargada una tensión V se descarga a través de una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia vR, la tensión en la capacidad vC, y la carga acumulada en la capacidad qC valen:

i = (V / R) e - t / CR = (V / R) e - t / T
vR = iR = V e - t / CR = V e - t / T
vC = vR = V e - t / CR = V e - t / T
qC = CvC = CV e - t / CR  = CV e - t / T

- Circuito RL

La constante de tiempo T de un circuito formado por una inductancia L y una resistencia R vale:

T = L/R

Si una tensión E se aplica a un circuito serie formado por una inductancia L y una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia vR, la caída de tensión a través de la inductancia vL, y el flujo concatenado en la inductancia y L valen:

i = (E / R) (1 - e - tR / L) = (E / R) (1 - e - t / T)
vR = iR = E (1 - e - tR / L) = E (1 - e - t / T)
vL = E - vR = E e - tR / L = E e - t / T
yL = Li = (LE / R) (1 - e - tR / L) = (LE / R) (1 - e -t / T)

Si una inductancia L que conduce una corriente I se descarga a través de una resistencia R, entonces después de un tiempo t la corriente i, la caída de tensión a través de la resistencia vR, la caída de tensión a través de la inductancia vL, y el flujo concatenado en la inductancia y L valen:

i = I e - tR / L = I e - t / T
vR = iR = IR e - tR / L = IR e - t / T
vL = vR = IR e - tR / L = IR e - t / T                    
yL = Li = LI e - tR / L = LI e - t / T

2 - Fórmulas para sistemas eléctricos de corriente alterna

- Notación

B
C
E
f
G
a
I
j
L
P
Q

 

susceptancia
capacidad
tensión
frecuencia
conductancia
operador a
corriente
operador j

inductancia
potencia activa
potencia reactiva

 

[Siemens, S]
[Farad, F]
[Volt, V]
[Hertz, Hz]
[Siemens, S]
[1
Ð120°]
[Ampere, A]
[1
Ð90°]
[Henry, H]
[Watt, W]
[VA reactivo, VAr]

 

R
S
t
V
W
X
Y
Z
d
f
w

 

resistencia
potencia aparente
tiempo
caída de tensión energía
reactancia
admitancia
impedancia
ángulo de pérdidas
ángulo de fase

 velocidad angular

 

[Ohm, W]
[Volt-Ampere, VA]
[segundo, seg]
[Volt, V]
[Joule, J]
[Ohm,
W]
[Siemens, S]
[Ohm,
W]
[grados, °]
[grados, °]
[rad/seg]

- Impedancia

La impedancia Z de una resistencia R en serie con una reactancia X vale:

Z = R + jX

Las formas rectángular y polar de la impedancia Z son:

Z = R + jX = (R2 + X2)½  Ðtan-1(X / R) = |Z| Ðf = |Z|cosf + j|Z|senf

Suma de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 + Z2 = (R1 + jX1) + (R2 + jX2) = (R1 + R2) + j(X1 + X2)

Resta de dos impedancias Z1 y Z2:


Z1 - Z2 = (R1 + jX1) - (R2 + jX2) = (R1 - R2) + j(X1 - X2)

Multiplicación de dos impedancias Z1 y Z2:


Z1 * Z2 = |Z1|
Ðf1 * |Z2| Ðf2 = ( |Z1| * |Z2| ) Ð(f1 + f2)

División de dos impedancias Z1 y Z2:

Z1 / Z2 = |Z1| Ðf1 / |Z2| Ðf2 = ( |Z1| / |Z2| ) Ð(f1 - f2)


- Admitancia

Una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X puede convertirse en una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B:

Z = R + jX

Y = Z -1 = 1 / (R + jX) = (R - jX) / (R2 + X2) = R / (R2 + X2) - jX / (R2 + X2) = R / |Z|2 - jX / |Z|2
Y = G - jB

G = R / (R2 + X2) = R / |Z|2
B = X / (R2 + X2) = X / |Z|2

La forma polar de la admitancia Y es:

Y = 1 / |Z|Ðf = |Z| -1Ð-f = |Y|Ð-f = |Y|cosf - j|Y|senf

Reciprocamente, para convertir una admitancia Y constituida por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B en una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X:

Z = Y -1 = 1 / (G - jB) = (G + jB) / (G2 + B2) = G / (G2 + B2) + jB / (G2 + B2) = R + jX
R = G / (G2 + B2) = G / |Y|2
X = B / (G2 + B2) = B / |Y|2

Usando la forma polar de la admitancia Y:

Z = 1 / |Y|Ð-f = |Y| -1Ðf = |Z|Ðf = |Z|cosf + j|Z|senf

Cuando las impedancias Z1, Z2, Z3, ... se conectan en serie, la impedancia total ZS vale:

ZS = Z1 + Z2 + Z3 + ...

Cuando las admitancias Y1, Y2, Y3, ... se conectan en paralelo, la admitancia total YP vale:

YP = Y1 + Y2 + Y3 + ...

- Reactancia inductiva

La reactancia inductiva XL de una inductancia L a una frecuencia y una velocidad angular w vale:

XL = wL = 2pfL

Si una corriente sinusoidal i de amplitud I y velocidad angular w pasa por una inductancia L, la tensión e a través de la inductancia vale :

e = L di/dt = L d(I sen wt)/dt = wLI cos wt = XLI cos wt

La corriente que atraviesa una inductancia está retrasada  90° con respecto a la tensión.

 

- Reactancia capacitiva

La reactancia inductiva XC de una capacidad C a una frecuencia y una velocidad angular w vale:

XC = 1 / wC = 1 / 2pfC

Si una tensión sinusoidal v de amplitud V y velocidad angular w se aplica a una capacidad C, la corriente i a través de la capacidad vale :

i = C d(V sen wt)/dt = wCV cos wt = V cos wt / XC

La corriente que atraviesa una capacidad está adelantada  90° con respecto a la tensión.

- Resonancia serie

Un circuito serie que comprende una resistencia R, una inductancia L y una capacidad C tiene una impedancia ZS que vale:

ZS = R + j(XL - XC) = R + j(wL - 1 / wC)

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia ZS vale cero:


XCr = XLr
ZSr = R
wr = (1 / LC)½ = 2pfr

- Resonancia paralelo

Un circuito paralelo que comprende una inductancia L en serie con una resistencia R, en paralelo con una capacidad C, tiene una admitancia YP que vale:

YP = 1 / (R + jXL) + 1 / (- jXC) = (R / (R2 + XL2)) - j(XL / (R2 + XL2) - 1 / XC)

Donde XL =
wL y XC = 1 / wC

En resonancia, la parte imaginaria de la impedancia YP vale cero:

XCr = (R2 + XLr2) / XLr = XLr + R2 / XLr = XLr (1 + R2 / XLr2)
ZPr = YPr-1 = (R2 + XLr2) / R = XLr XCr / R = L / CR
wr = (1 / LC - R2 / L2)½ = 2pfr

- Potencia en una impedancia serie

Si una tensión V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V(R / |Z|2 - jX / |Z|2) = VR / |Z|2 - jVX / |Z|2 = IP - jIQ

La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ valen:

IP = VR / |Z|2 = |I|cosf
IQ = VX / |Z|2 = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = V2 / |Z| = |I|2|Z|

P = VIP = IP2|Z|2 / R = V2R / |Z|2 = |I|2R = V|I|cosf

Q = VIQ = IQ2|Z|2 / X = V2X / |Z|2 = |I|2X = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = IP / |I| = P / S = R / |Z|

- Potencia en una impedancia paralelo

Si una tensión V (tomada como referencia) se aplica a una impedancia Z formada por una resistencia R en paralelo con una reactancia X, la corriente I vale:

I = VY = V/(R - j / X) = V(G - jB) = VG - jVB = IP - jIQ

La corriente activa IP y la corriente reactiva IQ valen:

IP = VG = V / R = |I|cosf
IQ = VB = V / X = |I|senf

El valor de la potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q es:

S = V|I| = |I|2 / |Y| = V2|Y|

P = VIP = IP2 / G = |I|2G / |Y|2 = V2G = V|I|cosf

Q = VIQ = IQ2 / B = |I|2B / |Y|2 = V2B = V|I|senf

El factor de potencia cosf resulta:

cosf = IP / |I| = P / S = G / |Y|

- Potencia compleja

Si una tensión V se aplica a una impedancia Z provocando la circulación de una corriente I , la potencia compleja S vale:

S = VI*                       (donde I* es el complejo conjugado de la corriente I)

Para carga inductiva:

Z = R + jXL
I = IP - jIQ
cos
f = R / |Z|
I* = IP + jIQ
S = P + jQ

Para carga capacitiva:

Z = R - jXC
I = IP + jIQ
cos
f = R / |Z|
I* = IP - jIQ
S = P - jQ

- Potencia trifásica

Para una carga equilibrada en estrella con una tensión de línea Vlin y una corriente de línea Ilin se tiene:

Vestr = Vlin / Ö3
Iestr = Ilin
Zestr = Vestr / Iestr = Vlin /
Ö3 Ilin
Sestr = 3 Vestr Iestr =
Ö3 Vlin Ilin = Vlin2 / Zestr = 3 Ilin2 Zestr

Para una carga equilibrada en triángulo con una tensión de línea Vlin y una corriente de línea Ilin se tiene:

Vtriang = Vlin
Itriang = Ilin /
Ö3
Ztriang = Vtriang / Itriang =
Ö3 Vlin / Ilin
Striang = 3 Vtriang Itriang =
Ö3 Vlin Ilin = 3 Vlin2 / Ztriang = Ilin2 Ztriang

La potencia aparente S, la potencia activa P, y la potencia reactiva Q valen:

S2 = P2 + Q2

P = S cosf = Ö3 Vlin Ilin cosf

Q = S senf = Ö3 Vlin Ilin senf

Nótese que para una equivalencia entre cargas equilibradas conectadas en estrella y en triángulo debe ser:

Ztriang = 3 Zestr

- Sistema por unidad

Para cada parámetro del sistema, el valor por unidad es igual al cociente entre su valor verdadero y el valor base:

Epu = E / Ebase
Ipu = I / Ibase
Zpu = Z / Zbase

En los sistemas trifásicos simétricos se refiere todo a una fase equivalente estrella.

Generalmente se seleccionan los valores nominales de potencia en MVA y tensión de fase estrella en kV como valores base:

Sbase = Snomin = Ö3 Elin Ilin
Ebase = Eestr = Elin/
Ö3               

Los valores base para corriente de línea en kA y la impedancia por fase estrella en Ohm/fase son:

Ibase = Sbase / 3Ebase ( = Sbase / Ö3Elin)
Zbase = Ebase / Ibase = 3Ebase2 / Sbase ( = Elin2 / Sbase)

Nótese que eligiendo dos valores de base cualesquiera de Sbase, Ebase, Ibase o Zbase se fijan los valores de base de los cuatro.

Los valores por unidad y porcentuales están relacionados por:


Zpu = Z% / 100

- Sistema por unidad en transformadores

En presencia de transformadores se trabaja con distintos valores base de tensiones, corrientes e impedancias en ambos lados del mismo. Aceptando que la potencia aparente nominal secundaria (subíndice 2) es igual a la del primario (subíndice 1) resulta:

S1 =Ö3E1lin I1lin = S2 = Ö3 E2lin I2lin= S

Convirtiendo a valores base por fase estrella:

3E1baseI1base = Sbase = 3E2baseI2base
E1base / E2base = I2base / I1base
Z1base / Z2base = (E1base / E2base)2

La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es:

Z21 = Z2(E1base / E2base)2 = Z2(Z1base / Z2base)

Por lo tanto:

Z21/ Z1base = Z2/ Z2base

Z21pu = Z2pu

La impedancia Z12 referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z1 en el lado primario, es:

Z12 = Z1(E2base / E1base)2 = Z1(Z2base / Z1base)

Por lo tanto:

Z12/ Z2base = Z1/ Z1base

Z12pu = Z1pu

Por su parte, si por ejemplo trabajamos del lado primario, la tensión de cortocircuito por unidad V1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z1CCpu mediante:

V1CCpu= V1CC / E1base = I1base Z1CC / E1base = Z1CCpu

- Componentes simétricas

En cualquier sistema trifásico, las corrientes de línea  Ia, Ib e Ic pueden expresarse como la suma fasorial de:

- una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia positiva Ia1, Ib1 e Ic1 (secuencia de fases a-b-c)
- una terna equilibrada de corrientes de fase de secuencia negativa Ia2, Ib2 e Ic2 (secuencia de fases a-c-b)
- una terna de corrientes de fase idénticas de secuencia cero Ia0, Ib0 e Ic0 (en fase, sin secuencia de fases)

Empleando el operador a (1Ð120°), que una de las raices cúbicas de la unidad:


a = - 1 / 2 + j
Ö3 / 2 = 1Ð120° = 1Ð-240°
a2 = - 1 / 2 - jÖ3 / 2 = 1Ð240° = 1Ð-120°

1 + a + a2 = 0
a + a2 = - 1 = 1
Ð180°
a - a2 = j
Ö3 = Ö3Ð90°
a2 - a = - jÖ3 = Ö3Ð-90°

Las corrientes de secuencia positiva, negativa y cero pueden obtenerse a partir de las corrientes de línea mediante:

Ia1 = (Ia + aIb + a2Ic) / 3
Ia2 = (Ia + a2Ib + aIc) / 3
Ia0 = (Ia + Ib + Ic) / 3

Y recíprocamente:


Ia = Ia1 + Ia2 + Ia0
Ib = Ib1 + Ib2 + Ib0 = a2Ia1 + aIa2 + Ia0
Ic = Ic1 + Ic2 + Ic0 = aIa1 + a2Ia2 + Ia0

- Cálculo de fallas

Los diferentes tipos de fallas (cortocircuitos) que pueden ocurrir en sistemas de potencia son:

- una fase a tierra

- dos fases

- dos fases a tierra

- tres fases

- tres fases a tierra

Para cada tipo de falla que se presenta en un sistema sin carga, en los siguientes cuadros se dispone:

- en la primera columna se ponen las tensiones de fase y las corrientes de línea que caracterizan a la falla

- en la segunda columna se ponen las corrientes y las tensiones de secuencia de la fase “a” en las condiciones de falla.

- en la tercera columna se ponen las fórmulas para la fase “a” de las corrientes de secuencia en las condiciones de falla.

- en la cuarta columna se ponen las fórmulas de la corriente de falla y las corriente de línea resultantes.

Por convención, las fases siniestradas se elijen con simetría de falla respecto a la fase “a” de referencia.

I f = corriente de falla
Ie = corriente de falla a tierra
Ea = tensión normal de fase en el lugar de falla
Z1 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia positiva
Z2 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia negativa

Z0 = impedancia de red de fase para la falla para la secuencia cero

Una fase a tierra - falla de la fase “a” a tierra:

Va = 0
Ib = Ic = 0
I f = Ia = Ie

Ia1 = Ia2 = Ia0 = Ia / 3
Va1 + Va2 + Va0 = 0
  

Ia1 = Ea / (Z1 + Z2 + Z0)
Ia2 = Ia1
Ia0 = Ia1

I f = 3Ia0 = 3Ea / (Z1 + Z2 + Z0) = Ie
Ia = I f = 3Ea / (Z1 + Z2 + Z0)
  

Dos fases - falla de la fase “b” a la fase “c”

Vb = Vc
Ia = 0
I f = Ib = - Ic

Ia1 + Ia2 = 0
Ia0 = 0
Va1 = Va2

Ia1 = Ea / (Z1 + Z2)
Ia2 = - Ia1
Ia0 = 0

I f = - jÖ3Ia1 = - jÖ3Ea / (Z1 + Z2)
Ib = I f = - jÖ3Ea / (Z1 + Z2)
Ic = - I f = jÖ3Ea / (Z1 + Z2)

Dos fases a tierra - falla de la fase “b” y la fase “c” a tierra:

Vb = Vc = 0
Ia = 0
I f = Ib + Ic = Ie

Ia1 + Ia2 + Ia0 = 0
Va1 = Va2 = Va0
  

Ia1 = Ea / Zredt
Ia2 = - Ia1Z0 / (Z2 + Z0)
Ia0 = - Ia1Z2 / (Z2 + Z0)

I f = 3Ia0 = - 3EaZ2 / Szz = Ie
Ib = I f / 2 - jÖ3Ea(Z2 / 2 + Z0) / Szz
Ic = I f / 2 + jÖ3Ea(Z2 / 2 + Z0) / Szz

  Zredt = Z1 + Z2Z0 / (Z2 + Z0)   y   Szz = Z1Z2 + Z2Z0 + Z0Z1 = (Z2 + Z0)Zredt

Tres fases (y tres fases a tierra) - falla de la fase “a” , la fase “b”  y la fase “c” (a tierra):

Va = Vb = Vc (= 0)
Ia + Ib + Ic = 0 (= Ie)
I f = Ia = a Ib = a2 Ic

Va0 = Va (= 0)
Va1 = Va2 = 0
  

Ia1 = Ea / Z1
Ia2 = 0
Ia0 = 0

I f = Ia1 = Ea / Z1 = Ia
Ib = Eb / Z1
Ic = Ec / Z1

Los valores de Z1, Z2 y Z0 se determinan respectivamente para impedancia de red de secuencia positiva, negativa y cero, por reducción a una impedancia única.

- Nivel de cortocircuito trifásico

La corriente de cortocircuito trifásico simetrico Isc de un sistema de potencia con tensiones en vacío de línea y de fase Elin y Efase e impedancia de fuente por fase estrella ZF es:

Isc = Efase / |ZF| = Elin / Ö3|ZF|

El nivel de cortocircuito trifásico Ssc de un sistema de potencia es:


Ssc = 3Isc2|ZF| = 3EfaseIsc = 3Efase2 / |ZF| = Elin2 / |ZF|

Si la relación X / R de la impedancia de fuente ZF (de resistencia RF y reactancia XF) es suficientemente grande, |ZF| » XF.

- Corrección del factor de potencia

Si una carga inductiva con un consumo de potencia activa P y un factor de potencia en atraso sin corregir cosf1 se quiere llevar a un valor de factor de potencia en atraso corregido cosf2 , las potencias reactivas sin corregir y corregida Q1 y Q2, son respectivamente:

Q1 = P tanf1 = P  (1 / cos2f1 - 1)½

Q2 = P tanf2 = P  (1 / cos2f2 - 1)½

La potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QC que debe conectarse con la carga es:


QC = Q1 - Q2 = P (tan
f1 - tanf2)

Las potencias aparentes sin corregir y corregida S1 y S2, se relacionan mediante:

S1 cosf1 = P = S2 cosf2

Comparando las corrientes de carga sin corregir y corregida I1 e I2, se tiene:

I2 / I1 = S2 / S1 = cosf1 / cosf2

Para capacitores conectados en estrella, cada uno con una capacidad Cestr e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCestr y la corriente de línea reactiva Ilin valen:

QCestr = Vlin2 / XCestr = 2pf CestrVlin2
Ilin = QCestr /
Ö3Vlin = Vlin / Ö3XCestr
Cestr = QCestr / 2
pf Vlin2

Para capacitores conectados en triángulo, cada uno con una capacidad Ctriang e instalados en derivación en un sistema trifásico con tensión de línea Vlin y frecuencia f, la potencia reactiva en adelanto (capacitiva) QCtriang y la corriente de línea reactiva Ilin valen:

QCtriang = 3Vlin2 / XCtriang = 6pf CtriangVlin2
Ilin = QCtriang /
Ö3Vlin = Ö3Vlin / XCtriang
Ctriang = QCtriang / 6
pf Vlin2

Nótese que para tener el mismo valor de QC:

XCtriang = 3XCestr
Ctriang = Cestr / 3

- Resonancia armónica

Si un nodo de un sistema de potencia que trabaja a una frecuencia f tiene una reactancia inductiva de fuente por fase XL y una corrección del factor de potencia de reactancia capacitiva por fase Xc, la inductancia de fuente L y la capacidad de corrección C valen:

L = XL / w = XL / 2pf
C = 1 /
wXC = 1 / 2pf XC

La velocidad angular de resonancia serie wr vale:

wr = (1 / LC)½ = w(XC / XL)½ = 2pf (XC / XL)½

El nivel de cortocircuito trifásico Ssc en el nodo para una tensión de fase en vacío E y una impedancia por fase estrellla Z vale:


Ssc = 3E2 / |Z| = 3E2 / |R + jXL|

Si la relación XL / R de la impedancia de fuente Z es suficientemente grande, |Z| » XL:

Ssc » 3E2 / XL

La potencia reactiva QC de los capacitores de corrección del factor de potencia es:

QC = 3E2 / XC

El número de orden del armónico fr / f que produce la resonancia  serie de XL con XC es:

fr / f = wr / w = (XC / XL)½ » (Ssc / QC)½

- Factor de disipación dieléctrica

Si una tensión alterna V de frecuencia f se aplica a través de un sistema de aislamiento que comprende una capacidad C y una resistencia de pérdidas equivalentes en serie RS, entonces la corriente resultante I producirá una caída de tensión VR en la resistencia y una caída VC en la capacidad que resultan:

VR = IRS
VC = IXC
V = (VR2 + VC2)½

El factor de disipación dieléctrica de un sistema de aislamiento es la tangente del ángulo de pérdidas dieléctricas d entre VC y V :

tand = VR / VC = RS / XC = 2pfCRS
RS = XC tand = tand / 2pfC

La potencia de pérdidas dieléctricas P se relaciona con la potencia reactiva capacitiva QC mediante:

P = I2RS = I2XC tand = QC tand

El factor de potencia de un sistema de aislamiento es el coseno del ángulo de fase f entre VR y V:

cosf = VR / V

Además:

 d + f = 90°

tand = 1 / tanf = cosf / senf = cosf / (1 - cos2f)½

Si cosf es cercano a cero, entonces tand » cosf

3 - Teoremas de circuitos eléctricos lineales

- Notación

E
G
I
R

 

fuente de tensión
conductancia
corriente
resistencia

 

[Volt, V]
[Siemens, S]
[Ampere, A]
[Ohm,
W]

 

V
X
Y
Z

 

caída de tensión
reactancia
admitancia
impedancia

 

[Volt, V]
[Ohm,
W]
[Siemens, S]
[Ohm,
W]

- Ley de Ohm

Cuando la tensión aplicada E produce una corriente I al circular a través de una impedancia Z, el valor de dicha impedancia Z es igual a la tensión E dividida por la corriente I:

Impedancia = Tensión / Corriente

Z = E / I

Similarmente:

 

I = E / Z

 

V = IZ

Alternativamente usando la admitancia Y, que es el recíproco de la impedancia Z:

 

V = I / Y

- Ley de Kirchoff de las corrientes (1ª ley)

La suma de todas las corrientes que ingresan a cualquier nodo de un circuito es igual a la suma de todas las corrientes que salen del mismo:

SIingr = SIsal

Similarmente, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren a cualquier nodo de un circuito es igual a cero:

SI = 0

- Ley de Kirchoff de las tensiones (2ª ley)

La suma de todas las fuentes de tensión en cualquier circuito cerrado es igual a la suma de todas las caidas de tensión que se producen en el mismo:


SE = SIZ

Similarmente, la suma algebraica de todas las tensiones presentes en cualquier circuito cerrado es igual a cero:

SE - SIZ = 0

- Teorema de Thévenin

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por un circuito serie formado por una única fuente de tensión ETH y una única impedancia ZTH. El valor de ETH es igual a la tensión medida en bornes del dipolo a circuito abierto y el de la impedancia ZTH es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Teorema de Norton

Todo dipolo activo de un circuito puede ser reemplazado por una única fuente de corriente IN en paralelo con una única admitancia YN. El valor de IN es igual a la corriente medida en bornes del dipolo a circuito cerrado (cortocircuito) y el de la admitancia YN es la medida entre esos mismos bornes con todas las fuentes internas pasivadas.

- Equivalencia entre los teoremas de Thévenin y Norton

Las condiciones del modelo de Thévenin a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

Voc = ETH
Isc = ETH / ZTH
Vcarga = ETH - IcargaZTH
Icarga = ETH / (ZTH + Zcarga)

Las condiciones del modelo de Norton a circuito abierto, cortocircuito y carga son:

Voc = IN / YN
Isc = IN
Vcarga = IN / (YN + Ycarga)
Icarga = IN - VcargaYN

Las condiciones de pasaje entre modelos son:

Thévenin a Norton

 

ETH = IN / YN
ZTH = YN -1

Norton a Thévenin

 

IN = ETH / ZTH
YN = ZTH -1

- Teorema de superposición

En un circuito con múltiples fuentes de tensión, la corriente que circula en cualquier rama del mismo es igual a la suma de las corrientes que circularían en tal rama por la acción de cada fuente de tensión por separado, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de reciprocidad

La corriente Im que circula en la rama m de un circuito por acción de una fuente de tensión En ubicada en la rama n del mismo, es igual a la corriente In que circula en la rama n de ese circuito por acción de la misma fuente de tensión En ubicada en la rama m del circuito, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de compensación

Si la impedancia Zm de la rama m de un circuito por la que circula una corriente Im se incrementa en una cantidad finita DZm , entonces las modificaciones en las tensiones y corrientes que se producirán en todas las demás ramas del circuito pueden ser calculadas mediante la inserción de una fuente de tensión de valor -Im DZm ubicada en dicha rama m, con el resto de las fuentes pasivadas.

- Teorema de Millman (ó del paralelo de generadores)

Un circuito formado por el paralelo de las fuentes de tensión E1, E2, E3, ... cuyas impedancias internas son respectivamente Z1, Z2, Z3, ... puede ser reemplazado por una sola fuente de tensión Eeq con impedancia interna Zeq. El valor de Eeq es igual a la relación entre la suma de los productos de las tensiones de las fuentes por sus admitancias internas, y la suma de todas las admitancias internas; mientras que el valor de Zeq es igual a la inversa de la suma de todas las admitancias internas.

Eeq = (E1Y1 + E2Y2 + E3Y3 + ...) / (Y1 + Y2 + Y3 + ...) = SEY / SY

Zeq = 1 / (Y1 + Y2 + Y3 + ...) = 1 / SY

- Teorema de máxima tranferencia de potencia

Este teorema establece la condición a cumplir para que una fuente de tensión VG pueda transferir la máxima potencia a la carga. Según la característica de la carga, se pueden presentar distintos casos:

A) Si la carga es una resistencia RC, la máxima transferencia de potencia ocurrirá cuando RC sea igual al módulo de la impedancia del generador ZG.

RC = |ZG| = (RG2 + XG2)½

B) Si la carga es una impedancia ZC, la máxima transferencia de potencia ocurrirá cuando ZC sea igual al complejo conjugado de la impedancia del generador ZG.

ZC = ZG * = (RG - j XG)

C) Si la carga es una impedancia ZC de factor de potencia no modificable, la máxima transferencia de potencia ocurrirá cuando el módulo de la impedancia ZC sea igual el módulo de la impedancia del generador ZG.

 (RC2 + XC2)½ = |ZC| = |ZG| = (RG2 + XG2)½

- Transformación de Kennelly estrella-triángulo

Para transformar una estrella de impedancias ZAN, ZBN y ZCN  (con admitancias YAN, YBN e YCN) en un triángulo equivalente de impedancias ZAB, ZBC y ZCA (con admitancias YAB, YBC e YCA ) debe cumplirse:

ZAB = ZAN + ZBN + (ZANZBN / ZCN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZCN
ZBC = ZBN + ZCN + (ZBNZCN / ZAN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZAN
ZCA = ZCN + ZAN + (ZCNZAN / ZBN) = (ZANZBN + ZBNZCN + ZCNZAN) / ZBN

YAB = YANYBN / (YAN + YBN + YCN)
YBC = YBNYCN / (YAN + YBN + YCN)
YCA = YCNYAN / (YAN + YBN + YCN)

- Transformación de Kennelly triángulo-estrella

Para transformar un triángulo de impedancias ZAB, ZBC y ZCA (con admitancias YAB, YBC e YCA ) en una estrella de impedancias ZAN, ZBN y ZCN  (con admitancias YAN, YBN e YCN) debe cumplirse:

ZAN = ZCAZAB / (ZAB + ZBC + ZCA)
ZBN = ZABZBC / (ZAB + ZBC + ZCA)
ZCN = ZBCZCA / (ZAB + ZBC + ZCA)

YAN = YCA + YAB + (YCAYAB / YBC) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YBC
YBN = YAB + YBC + (YABYBC / YCA) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YCA
YCN = YBC + YCA + (YBCYCA / YAB) = (YABYBC + YBCYCA + YCAYAB) / YAB







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